ČASOVÁ NESYMETRIE VE FYZICE A NEVRATNOST DĚJŮ

Jan Erben - Eckstein

Hodlám zde diskutovat problém, který mne zaujal při četbě práce (Elliott H. Lieb, Jakob Yngvason)[1]. Článek je opravdu velmi zajímavý (lze jej získat na webu na adrese archivu Los Alamos N.L. : http://xxx.lanl.gov/abs/condmat/9708200 - existuje i pozdější zkrácená a “popularisovaná” verse [2], WWW odkaz je u nás šířen i na serveru AmberZine).

Ovšem interpretací entropie z pohledu termodynamiky se zabývat nechci. Jedná se mi o statistickou interpretaci entropie a vůbec o otázku vratnosti a nevratnosti ve fysice. Výše zmíněná práce s tím souvisí spíš okrajově – autoři [1] zde vyjadřují pochybnost (pokud jsem neučinil chybu v překladu), že by zákon růstu entropie byl někdy opravdu odvozen prostředky statistické fysiky, tedy užitím aparátu mechaniky (ať již klasické či kvantové) a počtu pravděpodobnosti.

Ač jsem problém nikdy příliš podrobně nestudoval, žil jsem v domnění, že vysvětlení této souvislosti bylo přesvědčivě podáno již v pracích Maxwella a Boltzmanna, ba dokonce jsem se patrně naivně domníval (a stále domnívám), že podstata jevu, kdy procesy provázející vývoj makroskopických soustav částic, jejichž chování se řídí časově symetrickými rovnicemi, se nám jeví časově nesymetrické, je elementární a očividná. Když se mi pak do ruky dostala kniha (P. Coveney a R. Highfield) [3], byl jsem zmaten ještě více, neboť autoři přesvědčují čtenáře, že tento jev není doposud uspokojivě vysvětlen, ba dokonce, že bude nutno vyvinout k tomuto účelu nový matematický aparát. Mohl bych samozřejmě toto tvrzení hodit za hlavu s poukazem, že se vyskytuje v knize, která obsahuje takřka tolik vágních “filosofujících” formulací jako skutečných argumentů. Uznávám, že do jisté míry je to “vinou” nikoliv autorů, nýbrž populárního charakteru knihy, jemuž bylo nutno sloh přizpůsobit. Avšak rovněž dosti popularisující kniha [4] je dokladem, že to autoři [3] možná přehnali. Ke knize [3] se ještě vrátím v poznámce 1) v závěru. Nicméně názor profesora Lieba v [1] se asi jen tak za hlavu hodit nedá. Navíc se zdá, že se v poslední době opakuje historie sporu mezi “Boltzmannovci” a “Zermelovci” a objevují se další poněkud zmatené námitky k dříve prokázané souvislosti mikroskopické vratnosti a makroskopické “nevratnosti” .

Rád bych Vás teď seznámil s mým značně zjednodušeným pohledem na podstatu vratnosti a nevratnosti ve statistické fysice, o němž se nicméně domnívám, že není natolik zjednodušený, aby neplatil. Úvodní část argumentace v a) patří práci (prof. Lebowitze – odkaz rovněž na serveru LANL –http://xxx.lanl.gov/abs/condmat/9605183) [5], avšak v dalším se pokusím formulovat silnější variantu jeho závěrů, která, jak se mi zdá, lépe vystihuje původní smysl Boltzmannovy idey. Hlavní zjednodušení spočívá v tom, že se ignorují kvantové jevy a relativita. Domnívám se totiž, že lze ukázat (jak tvrdí i J.L.Lebowitz), že hlavním zdrojem nevratnosti vývoje makrosystémů je obrovské množství stupňů volnosti (počtů mikrostavů), jimiž se realizují takzvané rovnovážné makrostavy a malé množství stupňů volnosti, jež přísluší nerovnovážným makrostavům, a dále (jak dodávám já) zřejmě subjektivní skutečnost, že mikrostavy generující “rovnovážný” makrostav neumíme rozlišit vzájemně, ale umíme je odlišit od mikrostavů realisujících nerovnovážný makrostav, právě proto, že různé makrostavy stavového prostoru jsou “viditelně” (chcete-li měřitelně) odlišné na rozdíl od různých mikrostavů uvnitř makrostavu – tak, zdá se mi, to Boltzmann myslel!

1. Formulace problému.



Předpokládejme makroskopický systém vyvíjející se v čase, např. nádobu rozdělenou přepážkou na dvě části, z nichž právě jedna je naplněna plynem, po odstranění přepážky. Na obr. 1a až 1d máme neumělé snímky vývoje systému v určitých okamžicích a máme určit časové pořadí, v němž snímky byly pořízeny. Odpověď založená na experimentální zkušenosti je, že “správné” pořadí je 1a – 1d. Pokusme se problém formulovat na mikroskopické úrovni, což nám pomůže uvědomit si jak a zda vůbec lze korektně položit otázku odvoditelnosti tohoto pořadí na základě časově symetrického mikroskopického popisu:

Mikroskopický stav isolovaného systému N klasických částic mějme popsán bodem (r₁, v₁, . . . , r_N, v_N) ve fázovém prostoru G . Ovšem snímky na obr.1 neurčují jednoznačně mikrostav X systému, nýbrž pouze velmi hrubý a neostrý obraz X, což je to, co nazýváme makrostavem a označujeme M(X). Každému M(X) přísluší tedy celá oblast mikrostavů G_M v G . Pro úplné stanovení G _M potřebujeme obvykle s určitou přesností stanovit nějaké makroskopicky konstantní (v isolované soustavě) stavové veličiny, třeba celkovou vnitřní energii, objem apod., ovšem pro kvalitativní analýsu můžeme od této přesné definice abstrahovat. Předpokládejme dále časový vývoj mikrostavů v M(X). Ten je určen klasickými Hamiltonovými rovnicemi, spojujícími jednoznačně X(t₀) v daném čase t₀ se stavem X(t) v jakémkoliv jiném čase t. Nechť nyní X(t₀) a X(t₀+Dt) , Dt>0 jsou dva takové mikrostavy. Obrácením (fysikálně nebo matematicky) všech rychlostí v čase t₀+Dt dostaneme nový mikrostav. Pokračuje-li nyní vývoj po dobu dalšího Dt, dostaneme se do mikrostavu v čase t₀+2Dt, který díky časové symetrii Hamiltoniánu odpovídá stavu X(t₀) se všemi rychlostmi opačnými. Tento mikrostav označíme

RX = (r₁, -v₁, . . . , r_N, -v_N).

Je zřejmé, že patří-li X do G_M, patří i RX do G_M, neboť mikrostav RX realizuje makrostav se stejným rozdělením poloh i energií

T_i » ˝ v_i˝ ² , U_ij » -r_ij^-1 = -˝ r_i - r_j˝ ^-1 , (s omezením na klasický případ)

tedy stejný makrostav M(X) ş M(RX). Nyní jasně vystupují kontury problému se stanovením pořadí snímků na obr. 1 : přechází-li makrostav z  M₁ v čase t₁ do makrostavu M₂ v čase t₂=t₁+Dt , Dt>0 , pak z hlediska fázového prostoru to znamená, že nějaký mikrostav XÎG_M1 přechází do nějakého mikrostavu Y v čase t₂ takového , že YÎG_M2 . Pak ale také RYÎG_M2 a pokračujeme-li v časovém vývoji RY opět po dobu Dt, dostaneme stav RX, který ovšem též splňuje RXÎG_M1. Takže - čistě ze zákonů dynamiky - existuje-li přechod mezi stavy na obr.1 ve směru a,b,c,d , pak existuje přechod ve směru d,c,b,a ! Je nyní zřejmé, že naše schopnost stanovit “správné” pořadí snímků na obr.1 netkví v zákonech Hamiltonovy dynamiky (které pro tento klasický případ považujeme za zákony přírody). Mé silnější než obvyklé tvrzení lze formulovat takto : Tato “schopnost” je založena na zkušenosti, experimentu a jejich nedostatečnosti a nedokonalosti a tedy nesprávné interpretaci toho, co pozorujeme, tedy je subjektivní a otázka souvislosti této “nevratnosti” s vratností dynamických zákonů je prostě špatně položena, což se pokusím upřesnit.

 

2. Otázka .

Nyní jsme připraveni formulovat otázku : jak souvisí nevratnost přechodu mezi makrostavy M_a na obr. 1a a M_d na obr. 1d s vratností přechodů mezi dvěma definovanými mikrostavy uvnitř G_Ma a G_Md ? Zdůrazněme, že bez adjektiva definovanými by takto položená otázka ve smyslu formulace problému a) nebyla úplně zadána – neměli bychom jednoznačně stanoveny počáteční podmínky – upozorňuji, že požadujeme získat odpověď ze zákonů dynamiky a statistických úvah.

3. Odpověď .

Co vlastně myslíme experimentálním přechodem M_a®M_d ? V jednoduché modelové situaci jako na obr.1 to znamená, že soustava přejde z jednoho z mikrostavů X_aÎG_Ma , v němž se nachází v okamžiku zahájení pozorování, do kteréhokoliv mikrostavu X_dÎG _Md. Co naopak myslíme experimentálním přechodem M_d®M_a ? , Opět tím myslíme, že soustava přejde z jednoho z mikrostavů X_dÎG_Md , v němž se nachází v okamžiku zahájení pozorování, do kteréhokoliv mikrostavu X_aÎG_Ma. Je-li však velikost oblastí G_Ma a G_Md různá, pak se příslušné experimenty neprovozují za stejných podmínek, a navíc v procesu M_d®M_{a ,} jak ukáži dále, příslušný experiment nemodeluje danou hypotézu, což je základní podmínka porovnatelnosti hypotéz. V mezním případě (abstrahujeme-li v prvním přiblížení od rychlostních souřadnic fázového prostoru) postačuje pro experimentální potvrzení hypotézy M_a®M_d přechod z jediného existujícího stavu X_aÎG_Ma tak, že považujeme za příznivý případ dosažení jakéhokoliv X_dÎG_Md , ne nějakého určitého X_d ! Naopak potvrzení hypotézy M_d®M_a ověřujeme experimentem s přechodem z jednoho určitého stavu X_dÎG_Md, v němž se soustava právě nachází ( z mnoha existujících ) , do jediného existujícího stavu X_aÎG_Ma, ale měl by nám stačit přechod z kteréhokoliv možného mikrostavu v M_d , aby byly podmínky rovnocenné ! Důvod je prostý , hypotézy M_a®M_d, M_d®M_a hovoří o stejné fysikální skutečnosti a je proto nutno je ověřovat stejným experimentem . Přesněji, hypotézu M_d®M_a neověřuje korektně experiment, kdy sledujeme, zda systém přejde se stavu na obr. 1d do stavu na obr. 1a, protože předpoklad M_d v hypotéze M_d®M_a znamená, že systém může být ve všech mikrostavech generujících M_d (současně !), zatímco v daném experimentu systém startuje vždy z jediného konkrétního mikrostavu uvnitř G_Md ! Správně založený experiment by musel přece na vstupní straně zajistit podmínky odpovídající dané hypotéze, tedy současnou existenci všech mikrostavů z G_Md (tedy např. bychom místo jedné nádoby s plynem museli použít nejméně N!/((N/2)!)² nádob, což např. v případě 100 molekul představuje zhruba 10²⁹ nádob – poznámka 2), a pak si troufám tvrdit, že v čase srovnatelném s dobou expanse plynu z jedné poloviny jediné nádoby do celé nádoby tak, aby v obou částech bylo právě 50 molekul , zjistíme v některé nádobě z oněch 10²⁹ samovolnou kompresi všech 100 částic do jedné poloviny). Opačný experiment ovšem opačnou hypotézu ověřuje, neboť hypotéza požaduje přechod z jediného X_a do kteréhokoliv X_d, což v případě příslušného experimentu opravdu postačuje k prohlášení výsledku experimentu za příznivý. A to zanedbávám skutečnost, že obvykle považujeme za dosažení rovnováhy nikoliv stav, kdy je v obou částech nádoby stejný nýbrž pouze zhruba stejný počet molekul, přičemž pravděpodobnosti těchto stavů se liší pro molová množství o mnoho řádů !

Kdybychom položili otázku, zda systém přejde z jediného X_a do apriori určeného stavu X_d, pak pravděpodobnost tohoto přechodu bude stejná (stejně malá), jako pravděpodobnost komprese plynu do jedné poloviny nádoby ve směru d®a. Nechtějme ovšem, aby se stejnou pravděpodobností uskutečňovaly různé procesy. Tak, jako dosud nikdo neviděl, aby plyn v nádobě prodělal samovolnou kompresi do jedné poloviny nádoby, stejně tak dosud nikdo neviděl, aby plyn expandoval z jedné poloviny nádoby do celé nádoby tak, aby proces byl zakončen jediným apriori stanoveným mikrostavem (což jsou ekvivalentní experimenty) a právě tak dosud nikdo nerealizoval pokus s N!/((N/2)!)² nádobami s plynem, aby tak skutečně korektně ověřil hypotézu M_d®M_a (mám nejisté tušení, že pro řádově molové množství plynu v nádobě bychom potřebovali alespoň tolik nádob – nebo spíše mnohem více, kolik je atomů v celém vesmíru, takže pro uskutečnění i tohoto jednoduchého experimentu bychom museli mít k disposici přinejmenším 10²⁴ kompletních vesmírů). Doporučuji teď přečíst poznámku 3).

S druhou větou to souvisí asi tak, že analogickou analýzu by bylo možno provést v rychlostním prostoru nebo s uvážením příslušného rozdělení energií pro daný typ částic i v kvantové mechanice: stav, kdy dvě dotýkající se pevná tělesa mají různé teploty je realizován mnohem méně mikrostavy, než stav, kdy energie (teplota) je rozdělena rovnoměrně. (To, že vyrovnávání teplot je ekvivalentní toku energie, lze poměrně jednoduše kvalitativně ověřit analýzou pružných srážek, tedy opět užitím Hamiltoniánské dynamiky – zjistíme, že částice s vyšší energií s vyšší pravděpodobností předává energii částici s nižší energií – to určuje tendenci.) Kdybychom opět měli k disposici dostatek vesmírů, bylo by možno realizovat “obří” experiment, kdy by v jednom z 10^X (nějaké obří číslo) současně probíhajících “malých” experimentů došlo během normální relaxační doby k případu nerovnoměrného rozdělení teplot mezi dvěma původně stejně teplými tělesy (při zachování první věty termodynamiky). Tento myšlenkový experiment potvrzuje mou hypotézu o symetrii termodynamických dějů ve stejném smyslu, jako experiment s jedinou dvojicí těles potvrzuje teorii o toku energie ve směru teplotního spádu (čímž, jak tvrdím, nevyvrací vratnost tohoto děje).

Tedy závěrem : zdánlivý rozpor mezi vratností základních fysikálních zákonů a zdánlivou nevratností termodynamických procesů je podle mého názoru pouhým nedorozuměním, protože to, co označujeme za důkaz nevratnosti nějakého termodynamického děje (totiž, že opačný termodynamický děj experiment údajně vyvrací), je dáno pouze tím, že pro onen opačný děj používáme chybně založený experiment, popisující zcela jiný děj. Z toho pak vyplývá mé přesvědčení, že t.zv. “termodynamická šipka času” je pouhou iluzí, kterou naše nedokonalá zkušenost a možnosti pozorování psychologicky spojují s takovými pojmy, jako je jednosměrný tok času a kausalita. (Takže v jistém smyslu mají vlastně autoři [1] pravdu.) Do jaké míry jsou tyto další pojmy objektivně založeny si netroufám posuzovat, právě tak netuším, zda a jak souvisí např. s problémem avansovaných a retardovaných potenciálů v teorii EM pole. Moje tvrzení se týká pouze pojmu termodynamické nevratnosti. Zdá se mi, že v tomto bodě jsou mé úvahy nestandardní v tom smyslu, že jdou dále za závěry učiněné např. v (Lebowitz) [5], a dále též tím, že vrací původní význam Boltzmannovým ideím, který je v pojednáních o statistické fysice obvykle značně zužován ! Sám za sebe se domnívám, že skutečná podstata nesymetrie času bude “ukryta” někde v topologii vesmíru a jeho prostoročasu, a tedy, že klíč záhady drží opět v ruce fysikové (nikoliv však ti “statističtí”, spíše ti “topologičtí”, jako třeba Luboš Motl), a proto ostatní přírodovědci neřkuli filosofové se bohužel pokouší uchopit tento problém za nesprávný konec.

Myslím, že pokud jde o kvalitativní odpověď na problém definovaný v odstavcích a) a b), nevidím z mého pohledu šanci, že by se k tomu dalo ještě něco dodat. Je-li tomu opravdu tak, pak je na místě otázka, kde se neustále bere tolik sporů a nepochopení kolem druhé věty termodynamiky a proč tolik fundovaných a nesmírně inteligentních lidí na ní shledává něco magického.

Je vcelku pravděpodobné, že vysvětlení tohoto mého pocitu vyplývá z toho, že problém termodynamické “nevratnosti” se skrývá někde hlouběji, kde ho svým slabým duševním zrakem nejsem schopen zahlédnout ! Tento příspěvek je myšlen nikoliv jako kategorické tvrzení, nýbrž jako výzva k diskusi a mně nezbývá než doufat, že bude takto pochopen a přijat.

Jan Erben - Eckstein

V Brně, dne 20.1.1999