Řídí se vesmír matematickými zákony?

New York. Na špičce seznamu vědou nezodpovězených otázek, například co je vědomí a jak začal život, vyniká tajemství nejhlubších ze všech: proč se vesmír podle všeho, co víme, řídí matematickými zákony?

Podle teorie velkého třesku byly hmota, energie, prostor i čas stvořeny během prvotní exploze. Zdá se, že se okamžitě všechno začalo rozvíjet podle matematického plánu. Ale odkud přišla matematika? Jaký je původ čísel a vztahů, které je spojují?

Starověcí následníci Řeckého matematika Pythagora prohlašovali, že čísla jsou základní stavební prvky vesmíru. Od té doby vědci vždy zastávali jakýsi matematický kreacionismus: Bůh je velký matematik, který prohlásil: "Budiž jsou čísla" dříve, než došlo na "Budiž světlo".

Vědci obvykle mluví o Bohu v metafoře. Ale nakonec většina z nich alespoň tiše přijímá filosofii Platóna, který navrhl poměrně nevědecky, že čísla a matematické zákony jsou nadpozemskými ideály, které existují mimo prostor a čas v říši mimo dosah lidstva.

Jelikož celým smyslem vědy je popsat svět bez dovolávání se nadpřirozena, neúspěch s racionálním vysvětlením "nepřiměřené efektivity matematiky", jak jev jednou nazval fyzik Eugene Wigner, je skandálem, projevem velké propasti v lidském porozumění.

"Odmítáme se stavět této otázce tváří v tvář," napsal Reuben Hersh, vysloužilý matematik z Univerzity v Novém Mexiku v Albuquerque, ve své poslední knize "Co je matematika ve skutečnosti?" (Oxford University Press, 1997). "Ideální entity nezávislé na lidském vědomí protiřečí empiricismu moderní vědy." Zatímco je přírodní věda zakotvena v pozorováních fyzikálního světa, Hersh trvá na tom, že matematika je spíše lidským výtvorem, podobně jako literatura, náboženství nebo bankovnictví.

Hershova kniha je jednou z mnoha současných prací zápasících o názor, že matematika není nadpozemskou esencí, ale že přichází díky lidem, kteří ji vymyslili, nikoliv objevili. City vyjádřené v knize nejsou zcela nové a tato matematická záhada byla sotva vyřešena. Ovšem myšlenka matematiky s člověkem uprostřed může získat na síle a na vážnosti.

V díle "Smysl čísel: Jak mysl tvoří matematiku" (Oxford University Press, 1997) seřazuje Stanislas Dehaene, teoretik poznání z Národního ústavu zdraví a medického výzkumu v Paříži, experimentální doklady, aby ukázal, že mozky lidí a dokonce šimpanzů a krys se mohou již narodit s vrozeným a uceleným nadáním pro matematiku. Gregory Chaitin, matematik z Výzkumného centra Thomase J. Watsona u firmy IBM, v Yorktown Heights ve státě New York, se zastává antiplatónského stanoviska v "Mezích matematiky" (Springer, 1997). Dva vědci z Berkeley, George Lakoff a Rafael Nunez, pracují na knize pracovně nazvané "Matematické tělo", obhajující, že ba i nejabstraktnější matematické koncepce vyrůstají ze základní lidské zkušenosti, ze způsobu interakce lidského jedince se světem. Předkládají přehled svých myšlenek v jedné kapitole jiné knihy, vydané v loňském roce "Matematické usuzování: analogie, metafory a obrazy" editované Lyn English (Erlbaum).

Všichni autoři jsou pracujícími matematiky a přírodními vědci, nikoliv postmoderními kritiky pohlížejícími na problematiku z dáli. Důrazně odmítají všechny, kteří matematiku a přírodní vědy degradují na libovolné konstrukce nebo dokonce bělošský samčí eurocentrický folklór. Se stejnou razancí ale také odmítají to, co mnozí vědci přijali za své: Platónovo učení.

"Obyčejné chápání čisté matematiky spočívá v tom, že matematici jsou jakýmsi přímým potrubím propojeni s božími myšlenkami, absolutní pravdou," píše Chaitin v "Mezích matematiky". Zatímco přírodovědecké poznání je provizorním subjektem neustálých revizí, matematika je obvykle vnímána jako věčná. Ale Chaitin vyzývá své kolegy k opuštění matematického platonismu a k přijetí "kvaziempirického" přístupu, který pohlíží na matematiku jako na každou jinou špinavou experimentální vědu.

"Přívlastek 'kvaziempirický' znamená, že matematika se neliší od fyziky," říká. Tento pohled je do podrobností vyložen v revidované verzi "Nových směrů ve filosofii a matematice," editované Thomasem Tymoczco (Princeton University Press, 1998).

Matematik 19. století Leopold Kronecker jednou řekl: "Přirozená čísla stvořil Bůh, vše ostatní je dílem lidským." Albert Einstein, pohlížeje na všechna čísla jiným způsobem, napsal, že "řady přirozených čísel jsou vynálezem lidské mysli, pro vlastní účely stvořeným nástrojem zjednodušujícím uspořádání jistých smyslových zážitků."

Ve "Smyslu čísel" Dehaene jde ještě dále. Přirozená čísla, alespoň ta nejmenší, jsou pevně zasazena do lidského nervového systému evolucí, spolu s nerozpracovanou schopností sčítat a odčítat. Matematika, jak věří, ja vštípena do samotné architektury našich mozků.

"Poněvadž žijeme ve světě plném diskrétních a pohyblivých předmětů, je pro nás velmi užitečné umět vyzískat jejich počet," argumentuje v nedávném fóru publikovaném na internetu (www.edge.org) Edgeho nadací. "To nám může pomoci sledovat kořist nebo vybrat nejúrodnější pozemky, abychom zmínili alespoň velmi očividné příklady."

Studiem pacientů s poškozeními mozku, kteří ztratili zíkladní schopnost práce s čísly, Dehaene a další předběžně lokalizovali tuto aritmetickou jednotku do oblasti mozku zvané spodní kůra mozková, což je ne příliš dobře chápaná oblast, kde se sbíhají obrazové, zvukové a hmatové signály. Vědce lákají náznaky toho, že tato oblast se také účastní zpracovávání jazyka a roslišování levé a pravé strany. Matematika je nakonec druhem jazyka úzce spojeným s užitím čísel pro uspořádání prostoru. Spodní kůra mozková se také zdá důležitá pro manuální zručnost a aritmetika přece začíná počítáním na prstech. Pokusy se zobrazováním a monitorováním mozků lidí, kteří právě počítají, ukazují do stejné oblasti, kde má sídlit základní číselný procesor.

Pokud tato neurologická kalkulačka nám byla skutečně odkázána díky evoluci, potom by její stopy měly být nalezeny i u jiných druhů. Při tvorbě tohoto argumentu Dehaene čerpá z pokusů z posledních desítek let, které ukazují, že i krysy mají základní smysl pro čísla. Zvířata se dokázala naučit stisknout čtyřikrát tlačítko A a potom tlačítko B, aby dostala jídlo, nebo stisknout tlačítko A, když slyší posloupnost dvou tónů, a tlačítko B, když slyší posloupnost osmi tónů. (Aby bylo jisté, že krysy reagují opravdu na počet signálů a nikoliv na celkové trvání, dvoutónová znělka občas trvala déle než osmitónová.)

Ještě úchvatnější byly poslední experimenty, v nichž krysy poprvé trénovaly spojit tlačítko A s dvěma tóny a B se čtyřmi tóny. Potom se i naučily asociovat si A s dvěma záblesky světla a B se čtyřmi záblesky. Pokud krysy slyšely dva tóny a viděly dva záblesky, stiskly B, nikoliv A, což naznačuje, že pochopily, že dvě plus dvě se rovná čtyřem.

Krysy nebyly přesné. Při tréninku, kdy měly jedno tlačítko stisknout čtyřikrát, ho občas stiskly pětkrát či šestkrát a přitom očekávaly stejnou odměnu, případně si pletly sedmitónový signál s osmitónovým. Celkově však experimenty podporují hypotézu primitivního neurologického číselného procesoru i u hlodavců.

V jiných pokusech se učili jednoduchou aritmetiku šimpanzi. Dostali-li na výběr tácek s dvěma hromádkami po třech respektive čtyřech kouscích čokolády a další tácek s dvěma hromádkami po dvou a třech, vybrali si vždy první, bohatší tácek. Pokud se ale celkový počet lišil jen o jednu, šimpanzi se často zmýlili. Smysl pro čísla mají jen přibližný, nikoliv přesný. Podobné pokusy s lidskými novorozeňaty mladšími než pět měsíců, v nichž jsou čokolády nahrazeny hračkami Mickey Mouse, ukazují známky stejné schopnosti vnímat přibližně počet.

Dehaene říká, že tento instinkt je vrozený, podobně jako zpěv pro ptáky nebo spřádání sítí pro pavouky. Čísla zde nejsou platónskými ideály, nýbrž neurologickými výtvory, artefakty způsobu, jakým mozek analyzuje svět. V tomto směru jsou podobná barvám. Červená jablíčka nejsou červená neodmyslitelně. Odrážejí světlo vlnových délek, které na sítnici vyvolává vjemy, jež evolucí vycvičený mozek interpretuje jako červenou barvu.

Zatímco se lidé rodí s porozuměním základům aritmetiky, další pokrok vyžaduje učení a tvořivost, tvrdí autor. Násobení, dělení a celá nadstruktura vyšší matematiky - od algebry k trigonometrii, analýze, fraktální geometrii a dále - jsou krásné improvizace, díla lidské kultury.

Umění spřádat jednoduché myšlenky, jako že třeba dva plus dva je rovno čtyřem, do goblénů vyšší matematiky, navhruje autor, není nepodobné lidskému nadání pro jazyk. Lidé vezmou poměrně malou sbírku slov a s užitím jednoduchých pravidel gramatiky a syntaxe vytvářejí literaturu.

Na Univerzitě státu Kalifornie v Berkeley tvrdí jazykovědec a teoretik poznání Lakoff a vývojový psycholog Nunez, že zdroj matematiky spočívá nejen v mozku, ale i v celém těle a fyzickém světě. Lidé preferují decimální soustavu proto, že mají deset prstů. Ale to je jen začátek celého příběhu.

Řízeni vestavěným smyslem pro číslo, praví jejich teorie, primitivní lidé zkoumali taje počítání hrou se svými prsty nebo pokládáním kamenů na hromádky. Ovšem také zjistili, že počítání lze také spojit s kroky, čímž se dá měřit vzdálenost. Tato metafora nakonec přivedla i k objevu abstraktnějších konceptů. Chůze jedním směrem znamená kladná čísla a chůze směrem opačným čísla záporná, místo startu je nula.

Násobení číslem větším než jedna lze nazírat jako roztažení, násobení číslem menším než jedna naopak odpovídá smršťování.

Lakoff a Nunez takové výklady nazývají "metaforami základů výuky". Autoři tvrdí, že při vynalézání matematiky užili lidé také "spojovacích metafor" k propojení dvou sad myšlenek. Posloupnost čísel lze zobrazit na přímku. Tím se čísla stávají body, namísto prstů či kamenů. Nakresli dvě přímky pod pravým úhlem a dostaneš to, co matematici nazývají kartézskou soustavou souřadnic nebo dvourozměrným grafem, což otvírá celou arénu pro nové hry.

A tak je matematika stavěna patro za patrem. "Studenti se nikdy neučí, že matematika je tvořivé úsilí," říká Lakoff v nedávném interview. "Matematika je velebena více proto, že ji stvořil člověk." Neexistuje nic jako čistá myšlenka nebo čistá matematika, říká, jsou to jen fyzikální aktivity.

To ale neznamená, že matematika je relativistická zcela obecně. Nejzákladnější matematické vynálezy jsou zakořeněny do mozku a těla. Dokonce i nejvznosnější matematické práce jsou testovány fyzikálními experimenty v reálném vesmíru. Z nekonečné škály matematických výtvorů si přírodní vědci vybírají ty, které jim pomáhají vysvětlit a předpovídat realitu. Pro matematiky mají další z těchto výtvorů příchuť samoúčelných zázraků, jako výtvarná díla a symfonie.

Ale mnozí přírodovědci a matematici stále pochybují, že evoluce, ať již biologická nebo kulturní, může adekvátně vysvětlit, proč matematika funguje tak dobře pro popis fundamentálních zákonů vesmíru.

"Naše schopnost objevit a matematicky popsat Newtonovy rovnice nemá žádnou okamžitou hodnotu pro přežití," řekl dr. Paul Davies, profesor matematické fyziky na Univerzitě v Adelaide v Austrálii. "Tento postřeh má ještě větší sílu, pokud ho aplikujeme řekněme na kvantovou mechaniku. Důvod, proč je pro lidi tak těžké pochopit kvantovou fyziku, je právě v tom, že její chápání nepřináší žádný přínos pro přežití."

Důvod, proč je matematika tak efektivní, říká, zůstává hlubokým tajemstvím. "Žádný jiný rys tohoto nezištného 'naladění' lidské mysli na podstatu dějů v přírodě není tak uchvacující, jako je matematika," píše v knize "Boží mysl: Vědecká základna racionálního světa" (Simon & Schuster, 1992).

Někteří setrvávají na mlhavé naději, že toto tajemství může být vyřešeno, pokud se lidstvo setká s mimozemskou civilizací. Pokud je matematika opravdu univerzální a věčná, říká teorie, potom budou mimozemšťané chápat pojmy jako pí, poměr obvodu kruhu a jeho průměru. Platonisté předpokládají, že existuje "pí v nebesích," jak řekl britský astronom John Barrow ve stejnojmenné knize (Oxford University Press, 1992).

Antiplatonisté řeknou, že není důvodu věřit, že mimozemšťané budou rozumět matematickým vynálezům ze Země. "Platonisté tvrdí, že každá inteligentní bytost musí znát prvočísla, pí a hypotézu kontinua, což je projevem prostého antropomorfismu," říká Hersch.

Ale pokud by pozemšťané byli zcela zmateni z mimozemské matematiky, znamenalo by to důkaz antiplatónského stanoviska? Nikoliv nezbytně.

"Matematika mimozemšťanů může být tak daleko vyvinutá, že bude jednoduše příliš těžká na to, abychom ji mohli uchopit," říká Davies. "Matematická analýza by asi Pythagora zprvu zmátla, ale po dostatku výuky by ji akceptoval."

Ale co když by lidé s mimozemšťany o matematice mohli komunikovat? Znamenalo by to definitivní vítězství platónců? Ani to není pravda.

"Pokud se mimozemšťané vyvinuli v podobném prostředí jako my, řekněme ve světě složeném z rozličných pohyblivých předmětů - potom by pravděpodobně jejich mozek obsahoval díky přirozenému výběru znalost týchž zákonitostí vnějšího světa, které známe my," praví Dehaene. "Tedy by měli velmi podobnou aritmetiku a geometrii."

"Nyní však předpokládejme, že se mimozemské druhy vyvinuly v radikálně odlišném prostředí, například v kapalině," pokračuje. "Potom by znalost pohyblivých objektů nebyla podstatná pro jejich přežití, zatímco znalost mechaniky tekutin, vírů atd. ano. Věřím, že tyto hypotetické druhy by měly uvnitř mozků cit pro zcela odlišná pravidla než my. A měly by tedy radikálně odlišnou matematiku."

Takže by spor pokračoval.

Před několika lety se francouzský matematik Alain Connes, zastánce platonistů, a francouzský neurobiolog Jean-Pierre Changeux z opačného tábora pokusili otázku uspořádat v debatě. Výsledkem, přeloženým do angličtiny a editovaným M.B. DeBevoisem, byla kniha "Konverzace o mysli, hmotě a matematice" (Princeton University Press, 1995).

Pohybujíce se mezi rozsáhlými oblastmi témat včetně relativity, kvantové mechaniky, neurobiologie, topologie, teorie her, informační teorie a neeuklidovské geometrie, tito dva skončili diskusi bez rozřešení.

Nejlepším, co mohli udělat, bylo souhlasit o svém nesouhlasu.

Úterý, 10.února 1998. Přeložil Luboš Motl

Pokud se mylim, pak me tedy oprav :-).

Mam jiny tip, ale povazuji to za natolik tezce prokazatelnou otazku, ze tento svuj tip nechci povazovat za opravu Tveho tipu. ;-)

Ohledne platonismu si take nejsem jist, ze existence nejakeho objektu v oblasti ideji implikuje jeho pritomnost v fyzikalni realite.

To ja si take nejsem jist. ;-)

Spis mam dojem, ze realita vetsinou indukuje nebo spoluindukuje vznik jakehosi systemu ve svete (lidskych) ideji, ktery se pak zda absolutni, protoze nezname svet, kde plati neco jineho :-). Mozna ted vypadam jako jakysi relativisticky postmodernista :-)

Citim neco podobneho. ;-)

Barrow nebude tak zcela mimo. Takze, ano, vesmir dodrzuje matematicke zakony, jenze neni jiste, jestli dodrzuje vsude presne jedny a ty same  (a proc). To muze byt spojeno s tim, ze lze (mozna) vymyslet matematiku,..

Ono zavisi na tom, co jsou jeste "ty same jedny zakony". My si dokazeme predstavit silene mnozstvi svetu ("vakui" jak presneji rikame), kde je fyzika zcela odlisna, kde je napr, nenarusena supersymetrie v 11 dimenzich, uplne jine objekty, jiny charakter geometrie atd. Ale vsechny jaksi uzivaji stejnou matematiku jako nas svet. Existenci takovych svetu jaksi lze pripustit, ackoliv ve vetsine (at je mira jakakoliv) nevznikne zivot. Ale otazkou je, zda lze pripustit svety, ktere stoji na uplne jine logice nebo matematice, ktera je pro nas smrtelniky v principu nepochopitelna. Ja nevim - a mam podezreni, ze podle definice nikdy nemuzeme tuto otazku zodpovedet, ackoliv nas asi bude vzdy lakat. ;-)

...ktera nebude mit vubec zadny vztah k NAMI SPRAVNE pozorovane fyzikalne realite. S mimozemstany z naseho fyzikalniho sveta se muzeme domluvit, ale s "vyslanci" fyzikalne uplne jineho sveta a vesmiru asi tezko.