Model skladby na základě pojmu funkce

Jeden z nejfundamentálnějších konceptů lidského myšlení je pojem funkční závislosti. Galileo Galilei, autor proslulé teze o tom, že kniha přírody je psána jazykem matematiky, právě při svých pokusech s padáním oblázku z ochozu šikmé věže v Pise nalezl pozoruhodný fakt funkční závislosti hodnot na argumentech, identifikoval funkci volného pádu. Je též známo, že ve dvacátém století vznikl specifický aparát pro zacházení s funkcemi, lambda kalkul (jeho typovaná varianta je základem Transparentní intenzionální logiky - viz např. Materna 1995 -, jenž nám byla inspirací).

Model skladby¹, který budeme navrhovat, bude důsledně pracovat s oním primárním konceptem funkce, neustále budeme držet funkční hledisko. Domníváme se, že na rozdíl od různých matematických teorií jako je teorie grup, kódů, her apod., je to právě pojem funkce, co dobře koresponduje modelaci práce skladatele (ačkoli je komponování skladatelovou duševní prací, modelování tohoto jevu je funkčním zobrazením).

a) Nejprve stanovíme základní prvky (elementy) pro výstavbu hudební kompozice, a jejich množiny (skladateli též nazývané hudební parametry). Předtím si však stručně a zjednodušeně nastíníme, jak chápe skladbu hudební akustika: iniciací oscilátoru vzniká akustické vlnění (vlnění vyvolané tlakovými změnami ve vzduchu nebo ve vodě) určité frekvence, tj. počtu kmitů za sekundu - to vnímáme jako výšku; bezprostředně dochází ke vzniku dalších frekvencí (vyšších harmonických tónů, alikvotů), avšak převážně ve slabších dynamikách - to vnímáme jako barvu tónu (dále se na tom podílí šumy a šelesty, vedlejší oscilátory); je-li chvění pravidelné, pak je to tón, je-li nepravidelné, je to hluk; různou velikost amplitudy chápeme jako sílu, dynamiku tónu; délka tónu je samozřejmě dána dobou zaznívání. Při znění skladby jdou zvuky prostě za sebou, případně i zaráz (uvažme slova polyfonie, harmonie, akord), např. zaznění melodie je "průvod" zvuků za sebou.

Tón může být (jako i celá skladba) zachytitelný v třídimenzionálním grafu s osou lexikografického času (tj. ne reálného času, ale jeho abstraktní modelace), osou frekvencí (Hz) a dynamik (dB). Tón tak máme jako uspořádanou trojici (produkt kartézského součinu) těchto tří množin parametrů. S přibytím alikvotních frekvencí a jejich dynamik se nám trojice značně zkomplikují. Typovou analýzou (v rámci typovaného lambda kalkulu) ovšem zjistíme, že jde spíše o funkci, dvojice frekvencí a dynamik (čas nepotřebujeme, frekvence je již definovaná na čase; vzpomeňme dvojdimenzionalitu oscilogramů). Dále můžeme odlišit všechny druhy pojetí tónu (tón jako výšku, sinusový tón, tón s alikvoty a jejich dynamikami), lehce sestrojíme i příslušné termy (můžeme sestrojit term pro obecný tón). Tóny můžeme uskupovat do tónových soustav, či tónových skupin (Piňos 1971), přičemž ty jsou definovány jako výseky - podmnožiny dané tónové soustavy. Lehko nahlédneme, že díky frekvencím jsou tyto uspořádané.

Chápeme-li tón jakožto pouhou výšku (jak to i skladatelé dělají), pak můžeme samostatně konstituovat množinu dynamik, či množinu barev (typově mimochodem analogickou jako tón s alikvoty a příslušnými dynamikami, při alternativním pojetí jen jako dvojice alikvotů a jejich dynamik, tedy bez základní ). Na základě tónů můžeme konstituovat intervaly i jejich množiny (intervalové skupiny - jejichž pojem Piňos rovněž konstituoval). V hudbě znamená interval výškovou vzdálenost mezi dvěma tóny (jsou-li tóny uvedeny po sobě, jsou to melodické intervaly, jsou-li tóny uvedeny zaráz, jsou to harmonické intervaly). Lze je sestrojit jako produkty kartézského součinu tónové soustavy, či přímo, "peanovsky". Množinu délek můžeme chápat jako množinu délkových hodnot, nebo množinu délkových proporcí, délkových intervalů. Mimo to můžeme pro nějakou skladbu konstituovat jako základ množinu akordů, aj. Všechny tyto množiny jsou uspořádané.

Když se hudební teoretikové zmiňují o elementech, nikdy je nedefinují (výjimkou je snad Xenakis (1993), jenž se pokusil (avšak nedůsledně) definovat tón); jejich kolekce ovšem považují za pouhé množiny (množiny barev je navíc konstituována vždy poněkud problematicky).

b) Máme-li dány elementy skladby, pak můžeme sestrojit, pořádat, jednotlivé sekvence. Jsou to vždy funkce z množiny časových okamžiků (tj. čísel) do jednotlivých prvků určité množiny elementů. Jsou to posloupnosti, funkce z čísel do prvků nějaké množiny. V této souvislosti musíme uvést, že zcela neadekvátní jsou pokusy řady muzikologů (srov. Ludvová 1975) chápat posloupnosti (hudební horizontály) jako množiny. Množina je přeci dána výčtem prvků, nikoli jejich pořadím, jak je tomu např. v melodii, množina také nemůže - na rozdíl od melodie - obsahovat opakované prvky.

Nyní můžeme provést pracovní klasifikaci posloupností, jenž můžeme, po vzoru serialismu, nazývat série. Jsou to nejprve série jednovrstevnaté: tónové (např. tradiční pojem melosu - tedy tónový obsah melodie s pořadím, či dvanáctitónová řada dodekafonie, tónové série serialismu, stupnice, modus), intervalové², rytmické (tj. z tónových délek sestavený rytmus), dynamické, barevné. Kromě těchto máme též jejich kombinace, funkce z časů do n-tic elementů (pomni též výraz matematiků pro složenou funkci - kompozice), - dvouvrstevnaté (např. rytmicko-dynamická série tradičně zvaná metro-rytmické vztahy, aj.), třívrstevnaté, čtyřvrstevnaté (od podrobností zde musíme upustit). O všech kombinacích, které mají určené tóny (resp. intervaly) a současně i rytmus, bychom mohli říci, že jde o melodie (přičemž čtyřvrstevnaté série mají již všechny parametry melodie určené). Tak jako horizontály můžeme konstituovat i vertikály - souzvuky (současné uvedení alespoň dvou tónů), akordy (současné uvedení alespoň tří tónů různé výšky).

Dále ovšem můžeme nahlédnout, že jde vlastně jen o jeden (čtyřmístný) typ, přičemž v případě tvarů jako je např. melos, nejsou hodnoty ostatních parametrů přesně udány (nebo jsou eventuálně udány vzájemnými relacemi). Tento závěr nám potvrzuje tato úvaha o melosu: melos je "vyjmut" z melodie, ztrácí se tak udání délek, dynamik, barev; stejný melos však můžeme zjevně obdržet z různých melodií; můžeme tedy říci, že melos v sobě neurčeně zahrnuje všechny délky (i dynamiky a barvy) - toto nám potvrzuje přirozené vědomí, že stupnici, či melos lze hrát v různých rytmech (např. v těch, které nám zadá učitel klavíru).

Porovnáme-li tyto stručně uvedené poznatky se serialismem, pak zjistíme, že ten hovoří jen o jednovrstevnatých posloupnostech (přičemž historické druhy zcela pomíjí), vícevrstevnaté posloupnosti jsou sice zmiňovány, není však provedena jejich klasifikace; specielně hudební teoretikové dokonce považují posloupnosti zcela neadekvátně za množiny.³

c) Jednotlivé série - posloupnosti můžeme nyní variovat, obměňovat tím, že je transformujeme funkcemi vyššího typu, funkcemi na funkcích. Budeme je nadále psát jen s kapitálou na začátku Funkce (a můžeme je nazývat např. i jako transformace). Z hlediska skladatele je to procedura, jak z jedné (zdařilé, hezké) melodie vytvořit melodie jí příbuzné, namnožit tak hudbu skladby a zároveň docílit i vnitřní celistvosti této skladby.

Odlišme jednak Funkce totální, jednak parciální. Totální Funkce, které každému argumentu přiřadí hodnotu, jsou matematicky vlastně permutacemi prvků bez opakování. Vezmeme-li si dvanáctitónové série (dodekafonní řady) v rozsahu jedné oktávy, pak jich máme 479 001 600, a právě tolik je k jedné řadě možných obměn, tedy je i právě tolik Funkcí. Musíme poukázat na to, že dodekafonie z tohoto množství Funkcí znala jen 48 (4¹²), v nejvyšším případě 576 (což je zhruba milionkrát méně, než uvádíme my). Většina skladatelů si dosud skutečně uvědomila jen málo z těchto Funkcí - originál (identita), raka (obrácené pořadí prvků), kvartovou, či kvintovou proměnu (specifikovaná přiřazení tónů), zrcadlo-inverzi (přiřazení intervalů opačného směru), zrcadlo raka (složení Funkcí rak a zrcadlo), rotace (přeřazení prvního tónů na konec), kontrarotace (Funkce inverzní rotaci).

Všechny tyto Funkce jsou definovány zobrazením tónů, resp. dvojic tón - pořadí. Lze je ale definovat efektivněji - pouze zobrazením pořadí (rak, rotace), pouze zobrazením tónů (kvartová a kvintová proměna); můžeme též odlišit i Funkce efektivně zadané intervaly (zrcadlo); u identity nelze zvolit nejefektivnější tabulku. Funkce působící v jedné oktávě považujeme za zvláštní případ Funkcí působících ve více oktávách (těch je 2,99 na 10²³).

Další jsou Funkce parciální, které nepřiřazují všem argumentům hodnotu (na některých argumentech jsou nedefinovány); je jich ovšem nepřeberně mnoho. Serialismus znal obě dvě rodiny Funkcí (rodinou rozumíme celou skupinu Funkcí fungujících stejným principem) - selekci ("vybere" ze série jen některé prvky; tradiční krácení motivu), interpolaci (rozšíření, "vsunutí" tónů do série; tradiční rozšíření motivu), tedy funkci inverzní k selekci.⁴

Na všechny jednovrstevnaté série - užijeme-li naše pracovní odlišení - lze obecně aplikovat všechny totální i parciální Funkce (mimo tzv. zrcadlových), výjimkou je rytmická série, na níž můžeme aplikovat též násobné zvětšení (augmentace), či zmenšení (diminuce) délek (souvisí to s proporcemi). Co se týče vícevrstevnatých sérií, pak by mohl někdo usoudit, že je třeba nejdříve učinit rozklad vrstev, vybrané vrstvy transformovat a pak všechny složit dohromady. To však nemusíme dělat, můžeme určité Funkci podrobit hned všechny vrstvy zaráz (mj. to potvrzuje naši úvahu o jednom obecném typu série).

S Funkcemi jsme schopni explikovat nejen všechny operace dodekafonie (I.-III. stupně), serialialismu, ale i tzv. tématicko-motivickou práci, jenž dosud nebyla takto teoreticky reflektována (náš rozbor zde nemůžeme uvádět).

d) Skladbu coby celek si pak můžeme představit jako uspořádání posloupností - sérií, které jsou ve Funkčních (variačních) vztazích. Každé komponování je tak manipulování s funkcemi ("na" elementech) a s Funkcemi ("na" funkcích). Jednotlivé formové druhy (variace, sonáta, rondo, atd.), jenž jsou všechny nějak založeny na opakování, zde nelze rozebírat, jen pro ilustraci si uveďme píseň - její sloky (i refrény) jsou vlastně výsledkem aplikace Funkce identity na celý blok hudby.

II.

Vyhodnotíme-li náš návrh z hlediska hudební estetiky, tak zjistíme, že jsme s to dobře detekovat složenost, ale i složitost v hudební skladbě (složitost je samozřejmě poněkud antropologický pojem, tímto však má být předmětem estetiky).⁵ Odhalili jsme složitost vztahu melodie i celé skladby k základním hudebním elementům, obecně, více než serialismus, jsme formulovali pojetí vztahu mezi dvěma melodiemi, tedy fundovali obecně principy komponování (srov. též dále). / Jde tak o vysvětlení variací v hudbě v nejširším slova smyslu. Veškerá hudba si je, díky vztahům Funkcemi, příbuzná (A. Hábou proklamovaná atematická hudba striktně vzato není možná). Za překvapivé považujeme zjištění, jak blízko k sobě mají seriální (ve smyslu tzv. seriality) a "klasický" způsob komponování, a také mnohé jiné. Komponování se dokonce jeví obecně seriálním způsobem komponování. / Skladatelova práce je sice časově a okolnostně podmíněna, nicméně to, co se děje, je výběr z objektivních možností a nepřekračuje to - abychom tak řekli - rámec racionality, a to i když mu emoce pomáhají. Emočně ladění hudebníci teď vidí, že vše se děje v prostoru racionality, racionální hudebníci zase vidí, že rámec racionality je podstatně širší než se mělo za to, širší než lze (rozumem) zvládat. / Funkce s velkým F se značnou měrou podílí na estetické účinnosti, kráse skladeb. Od skladatele vážné hudby přece očekáváme umné a mnohé transformace melodií (což je založeno na tom, že některé Funkce vyrobí melodii více, některé zase méně příbuznou⁶), promyšlenou kompozici skladby.

Pohovořme nyní o jiných modelech. To, o čem mluví tradiční hudební analýza - motiv, téma, periody, díly, klasická harmonie, dur-moll - bychom mohli nazvat tradiční, či klasický model. Tento popisuje ovšem jen skladby určitého druhu, ostatní, např. řada skladeb druhé poloviny dvacátého století, jsou jím neanalyzovatelné. K hlavním vadám patří limity hudebního materiálu (dur-moll), vůbec všechny pojmy nezahrnující struktury hudby 20. století, ale hlavně Funkce. Dodekafonní model skladby (např. Hanns Jelinek v Úvodu do dodekafonní skladby), byl kupodivu poměrně rozvinutý, avšak zase jen částečný - popisoval jen určité dodekafonní skladby. Xenakisův model (abychom to tak nazvali), resp. model Xenakisův (1992) a jeho souputníků, stojí celý na domněnce, že pravděpodobnostní vztahy jsou všude ve světě i v životě. Stochastický systém, kde jedné příčině odpovídá více následků, nebo jeden následek je zapříčiněn několika příčinami, se mu stal modelem skladby. Hudební skladba pojímaná coby stochastický proces je hudba chápaná jako posloupnost, v níž jsou pravděpodobnosti přechodu ze stavu n+1 na stav n+2 rozloženy alespoň mezi dvě možná pokračování, tj. následující stav není zcela, ale jen částečně determinován, je to generování posloupnosti pomocí závislosti na předcházejících krocích (závislost na jednom kroku = markovovský řetězec 1.řádu, na dvou krocích = m. ř. 2.řádu).⁷

Avšak je tomu skutečně tak? Důležité je zde ukázat, že se tak dá komponovat - o tom jsou jistě mnohé pasáže jeho Formalized Music. Jenže jedna věc je, že to tak jde, a druhá věc je, jestli tak většina skladatelů komponuje, a to musíme říci ne. Lidský mozek (patrně) nepočítá markovovy řetězce, je v něm snad jen něco podobného generátoru náhodných čísel; mozek možná pracuje na principu závislosti kroků, avšak troufáme si říci, že sotva dodržuje markovovův řetězec 1.-ho, druhého, či n-tého řádu; navíc nás napadají hudební struktury také "v celku", na nejrůznějších úrovních abstrakce.

To, co všem pravděpodobnostním modelům principiálně chybí, jsou Funkce. Představme si, že se ve skladbě dvakrát vyskytuje, třeba hned za sebou, táž melodie. Pro nás je to jednoduchý vztah (Funkce identita), restriktivní mechanismus algoritmů by však měl hodně práce, než by dostal od generátoru náhodných čísel vhodnou kombinaci čísel, pomocí níž by vytvořil opakovanou melodii. Problémem se pak stává celá tématicko-motivická práce. Algoritmy jsou pak (u algoritmicko-pravděpodobnostních programů) omezeními, která mají vyloučit ona nežádoucí náhodná čísla. To ale jinými slovy znamená, že si dobrovolně nasadíme zbytečné jho náhodných čísel a k tomu si pak jsme nuceni dát další jho, jenž nám tyto náhodná čísla bude omezovat.⁸ U Funkcí takovéto obstrukce nemohou nastat, jsou to univerzální (též i nekomplikované) kompoziční operace.

Shrneme-li to, pak všechny tyto modely hudební kompozice jsou parciální, nepopisují všechny možné kompozice. V mnohém také není jejich popis struktur tvořících skladbu zcela adekvátní. Stochastika (Xenakis), i jakékoli další statistické koncepce jsou chybné tím, že pracují na "povrchu věci", nepostihují vnitřní principy kompozice, komponování. Aby mohl počítač komponovat (pro případ počítačových kompozičních programů), musí znát Funkce, a to snad všechny. V dnešní době je tomu tak, že jich zná jen pár, a právě proto je komponování počítačem dosud jen v začátcích.⁹ To však neznamená, že jsou bezcenné - kromě nepochybného úspěchu, jímž je mechanizování kompozice (tedy fakt, že počítače "komponují"), je řada pomocných, obslužných programů (zejm. pro sestavování posloupností) pro počítačovou aplikaci našeho modelu plně využitelná.

Máme-li model skladby, pak můžeme jednotlivé skladby analyzovat, porovnávat, atd., čili dělat vědeckou - muzikologickou práci (snažili jsme se též poukázat na to, že náš model skladby je lepší, adekvátnější, než jiné modely). Pro všechno, co konzistentně a smysluplně říkají skladatelé o technologii komponování a samotných kompozicích, musí být nalezena analýza. Lze zmapovat všechny funkce a Funkce, resp. jejich rodiny; lze sestavit katalogy, rejstříky, srovnávací klasifikaci. Můžeme vyhodnotit všechny definice hudebních pojmů a zjistit zda jsou korektní. Při důsledně funkčním chápání můžeme nacházet všechny principy společné jak staré, tak nové hudbě; odhalit to, jaké funkce, a zejména Funkce, vybírá daný autor (v jednom či mnoha dílech), hudební žánr, či celý styl (zde jsou možnosti pro hloubkově založenou kritiku, srovnávání autorství apod.). Můžeme učinit návrhy skladatelům, ukázat nevyužité (tím míníme neotřelé), nebo málo využívané, způsoby konstruování. Právě nevyužité kombinace mohou být v umění, které potřebuje obměňovat své vyjadřovací prostředky, velmi zajímavé. Pro skladatele je ovšem prospěšné i samo nahlédnutí vztahů, určité zobecnění překračující dílčí kompoziční techniky.

Bude-li vytvořen nějaký počítačový program, pak budeme moci skladby nejen analyzovat, ale i vytvářet, resp. napomáhat jejich vzniku. Takovýto program by usnadnil mechanickou řemeslnou práci (která vzniká i při komponování, i při analýze). Mohl by např. umožňovat volbu oblíbených Funkcí, vybírání příbuzných Funkcí, možnost specifických zadání pro vyhledání Funkce atd. Měl by též být pokud možno univerzální.¹⁰

Seznam literatury:

Ludvová, Jitka (1975): Matematické metody v hudební analýze, Praha: Editio Supraphon

Materna, Pavel (1995): Svět pojmů a logika. Praha: Filosofia AV ČR

Piňos, Alois (1971): Tónové skupiny. Praha: Editio Supraphon

Piňos, Alois (1996): "Obecné rysy modality a seriality / Vztahy mezi modalitou a serialitou". Brno: JAMU

Tichý, Pavel a Cmorej, Pavel (1998): "Komplexy". In: Organon F , č. 2, 3

Xenakis, Iannis (1992): Formalized Music (Revised Edition). Stuyvesant NY: Pendragon

Poznámky:

¹/ Slovo model nechápeme ve smyslu např. matematické teorie modelů, ale volněji ve smyslu zjednodušeného zpodobnění určité třídy jevů; pojem teorie by mohl být snad také využitelný.

²/ Viz Alois Piňos 1970, "Vyvážené intervalové řady", in: Nové cesty hudby. Praha : Editio Supraphon.

³/ Pro autora této statě bylo příjemným překvapením zjištění, že Pavel Tichý (Tichý& Cmorej, 1998) byl - v kontrastu k tvrzením muzikologů - také téhož názoru na povahu melodie: "Melodie očividně není množinou tónů zrovna tak, jako není jejich mereologickou sumou.", "Melodie je více než suma tónů, které se v ní spojují. Je to komplex, nebo také struktura.". Srov. též Wittgensteinovo tvrzení: "Věta není směsicí slov. - (Tak jako hudební téma není směsicí tónů.)" (Tractatus logico-philosophicus 1993, 3.141, Praha: Svoboda (Oikúmené)).

⁴/ Nemůžeme se zde pouštět do analýz, pro jejich náročnost, zvláštních Funkcí: transpozice, translace, ale i jiných.

⁵/ Alois Piňos ve své monografii Tónové skupiny (1971) odhaloval složitost v tónových kombinacích, zamýšlel se i nad obecným pojetím modality a seriality (srov. Piňos 1996) našel tam jisté analogie. Serialismus vypracoval některé postupy, některé vztahy mezi řadami, pracoval i na n-parametrických sériích, nacházel některé vztahy mezi sériemi různých parametrů.

⁶/ Položíme-li si v této souvislosti otázku, proč není např. ta část Mozartova Requiem, kterou dokomponoval Sussmayer, dostatečně působivá, pak to může být sice tím, že melodie nejsou dost hezké, nebo i tím, že Sussmayer konstruoval melodie strukturně jinak než Mozart, ale hlavně - varioval je jinými Funkcemi.

⁷/ Počítačové programy můžeme považovat za teoretické modely hudební kompozice. Dalším okruhem je několik modelů matematických, vyvinutých zejm. pro potřeby hudební analýzy (aplikuje se, ovšem jen dílčím způsobem a se skromnými výsledky, teorie množin a teorie pravděpodobnosti - srov. např. Ludvová 1975).

⁸/ I nejnovější stochastický program, který je s to produkovat bachovské skladby, je založen jednak na markovovských řetězcích, jednak na kontrole algoritmy. Kontrola algoritmy funguje tak, že všechny struktury, které mají vzniknout jsou ošetřeny tak, aby byly bachovské. Abychom mohli skládat jako Händel, tak musíme naprogramovat zase takové algoritmy, které nalezneme u Händela. Pro každého skladatele historie to musíme udělat zvlášť, jednotlivě. A noví skladatelé si musí naprogramovat zase své algoritmy.

⁹/ Co se týká krásy takto komponovaných skladeb, je zřejmé, že ať už zkomponuje počítač cokoli, stejně mu bude chybět emoční kontrola, cit pro to, co se posluchačů "dotýká". Určitou roli zde může sehrát hudební analýza, která připraví, dodá antropologicky účinné (či pro přítomnost aktuální) kombinace, resp. Funkce.

¹⁰/ Autor statě poukázal na mnohé své výsledky např. na přednášce "Logická struktura hudební kompozice" v prosinci 1998 na katedře filosofie v Brně.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Raclavský, Jiří (2000): Model skladby na základě pojmu funkce,
In: Ambiguity and Music, Ján Haluška (ed.), Bratislava: Seminar Mathematics and Music, 122-129.
preprint URL: http://www.phil.muni.cz/~raclavsk/texty/model_skladby_na_zaklade_pojmu_funkce.html