Commuting Linear Operators and Decompositions; Applications to Einstein Manifolds
| Název česky | Komutující linearární operátory a jejich rozklady;Applikace pro Einsteinovy variety |
|---|---|
| Autoři | |
| Rok publikování | 2008 |
| Druh | Článek v odborném periodiku |
| Časopis / Zdroj | Acta Applicandae Mathematicae |
| Fakulta / Pracoviště MU | |
| Citace | |
| www | http://www.springerlink.com/content/k3hu970rv6322x64/?p=b85bf2b6107c4ef4abcc4e15057e74b5&pi=0 |
| Obor | Obecná matematika |
| Klíčová slova | Commuting linear operators; Conformally invariant operators; Einstein manifolds; Symmetries of differential operators |
| Popis | Pro lineární operátory tvaru P=P0 P1...Pp (spolu s vhodnými předpoklady týkajících se komutativity jednotlivých faktorů Pi) definujeme několik verzí jistých rozkladů. Jestliže libovolný z těchto rozkladů nastane, otázky jádra a obrazu P jsou určeny stejnými otázkami pro jednotlivé faktory (nebo jejich vhodnými složeními). Například jsou-li operátory Pi polynomiální v jiných komutujících operátorech D1,...,Dk pak ukážeme, že (ve vhodně obecném smyslu) takové rozklady nastanou algebraicky. V případě operátorů na vektorovém prostoru nad algebraicky uzavřeným polem se tyto rozklady dají popsat explicitně použitím algebraické geometrie (použitím polynomiální formule pro P). Výsledné formule jsou nezávislé na konkrétní volbě Dj a proto tato teorie poskytuje cestu ke studiu prostoru řešení operátoru P a také nehomogonneního problému Pu=f bez nutnosti 'diagonalizovat' operátory Dj. Mezi aplikacemi jsou například konstrukce fundamentálních řešení (nebo Greenovy funkce) pro PDE; analýza algebry symmetrií pro PDE; přímý rozklad reprezentací Lieových group na Casimírovy zobecněné vlastní prostory (a související rozklady prostoru řezů vektorových bandlů vhodných geometrií). Operátory P polynomiální v jediném operátoru D tvoří nejjednoduší případ vyvinuté teorie a my ukážeme univerzální formule pro projekce, které řídí studované rozklady. Konkrétní geometrickou aplikaci ukážeme na Einsteinovských varietách: zde popíšeme přímé rozklady prostoru řešení a řešení obecného nehomogenního problému konformního Laplacova operátoru (zkonstruovaného Grahamem, Jennen, Masonem a Sparlingem). |
| Související projekty: |